如果天平兩端都允許放砝碼 如果天平兩端都.允許放砝碼，并且假定所有的砝碼都是整數(shù)克。為了稱(chēng)出從1克到40克所有整數(shù)克的物品，少需要幾個(gè)砝碼?感興趣的讀者不妨自己先試著想想，再往下看。
秘密在于3的冪
說(shuō)起來(lái)這個(gè)問(wèn)題歷史還算是挺悠久的。據(jù)《數(shù)學(xué)游戲與欣賞》([英]勞斯.鮑爾[加]考克斯特，楊應(yīng)辰等譯)，這個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)作巴協(xié)(Bachet) 砝碼問(wèn)題;而據(jù)《數(shù)學(xué)聊齋》(王樹(shù)禾)，該問(wèn)題至少可追溯到17世紀(jì)法梅齊里亞克(Meziriac， 1624) 。 他們給出的答案是:
少需要4個(gè)砝碼，規(guī)格分別為1克、3克、9克和27克。
例如，為了稱(chēng)出2克的物品，我們只需在天平- -端放3克砝碼，在另- -端放上1克的砝碼;而要稱(chēng)出7克的物品，則可以在端放上1克和9克的砝碼，另端放上3克的砝碼。
類(lèi)似地，要稱(chēng)出1克到4克中所有整數(shù)克的物品，只需要2個(gè)砝碼;要稱(chēng)出1克到13克中所有整數(shù)克的物品，則只需要3個(gè)砝碼;要稱(chēng)出1克到121克中所有整數(shù)克的物品則要5個(gè)砝碼，它們分別是1克、3克、9克、27克和81克，如此等等。
也許有人已經(jīng)心領(lǐng)神會(huì)了，但是如果就此滿(mǎn)足而匆匆離去的話(huà)，可能就錯(cuò)失了- -個(gè)領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)--問(wèn)題到這里并未結(jié)束啊!例如，4個(gè)砝碼究竟是不是少的?還有沒(méi)有其他的組合?對(duì)這些疑問(wèn)的個(gè)*的分析和說(shuō)明，是19世紀(jì)由麥克馬洪MacMahon) 給出的。下面就來(lái)領(lǐng)略下其中的思想吧， 或許你會(huì)從中學(xué)到很多。
因式分解的妙用
假設(shè)有個(gè)重為a克的砝碼，那么用它自然能夠稱(chēng)出0克和a克的物品。不過(guò)，如果虛設(shè)天平的某端為正的話(huà)，利用此天平和砝碼我們還能稱(chēng)出- a克的物品不妨規(guī)定把a(bǔ)克砝碼放在天平右側(cè)，將物品放在天平左側(cè)，由此可以稱(chēng)出a克的物品:但若把a(bǔ)克砝碼放在天平左側(cè)，把物品放在天平右側(cè)，由此稱(chēng)出的物品重量記作-a。目前這樣-種設(shè)想有 點(diǎn)怪異，但這實(shí)際上和人類(lèi)引入負(fù)數(shù)的思想是相同的。很快家便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種設(shè)定非常精妙地簡(jiǎn)化了我們的計(jì)算和推導(dǎo)?，F(xiàn)在暫且把該砝碼能夠稱(chēng)出的重量a, 0, a放個(gè)表達(dá)式中: x*+1+x
現(xiàn)在，假設(shè)有兩個(gè)不同規(guī)格的砝碼，分別重a克和b克(a<b)。按照上面的規(guī)定，我們可以稱(chēng)出-a-b，-b，-a，a-b,0,b-a,a,b,a+b。例如，為了稱(chēng)出b-a，只需要把b克的砝碼放在右端，物品和a克的砝碼放在左端;按照上面的約定，如果天平平衡，物品就是b-a克。而要稱(chēng)出a- b，則把b克砝碼放在左端，a克砝碼和物品放在右端，如果平衡則物品是a - b克。同樣地，把這些數(shù)塞個(gè)表達(dá)式: x8 0 +x° +x~*+x-b+1+xb-a+x+x+x"a+b
可以看到，它不是別的，正好是(x=+1+x)(x*+1+x)的展開(kāi)式。.
另外，假設(shè)有m個(gè)同樣重為a克的砝碼，則可以稱(chēng)出- ma, - (m- 1)a，，，0, .,,的物品。暫且按照上面的辦法，把這些數(shù)也塞個(gè)表達(dá)式中 :
(m - 1)a，ma克
x-ma +x-(m-1)a...+1+...+x(m-1)a+ xma
結(jié)合，上面的分析，容易看出，如果有m個(gè)a克的砝碼，n個(gè)b克的砝碼，等等，那么可以稱(chēng)出物品的.克數(shù)就是表達(dá)式(x-ma....+...+.*)(x-na +..+1 +..+02)..
展開(kāi)后出現(xiàn)過(guò)的那些x的冪數(shù)，而展開(kāi)式中x的i次項(xiàng)系數(shù)就表示用給定的這組砝碼稱(chēng)出i克物品的不同方法數(shù)。
如果要稱(chēng)出1到40中所有的整克數(shù)，并且要求所用的砝碼盡可能少，我們自然希望這些砝碼能夠“物盡其用”，稱(chēng)出的克數(shù)正好都是我們需要的克數(shù)，并且稱(chēng)的方法都是唯- -的。也就是說(shuō)，上述表達(dá)式展開(kāi)后應(yīng)該恰好是x40 +x,- 35+...+...+.39+ x40
反過(guò)來(lái)，就是要把40+3.+...+...+*x39+x*0
還原成(Xa +...+1 ...+-")(x na ...+..+*.*).... 的形式。 
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